Question

14．如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：
①函数y=sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；
③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（-1，0）上单调递减，则y=f（x）在（-2，-1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，函数y=f（x）是周期函数．
其中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析 根据新定义，得出f（x）的周期，结合函数奇偶性的性质即可判断．

解答 解：①∵sin（x+π）=-sin（x）=sin（-x），
∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；故①正确；
②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），∴f（x）=f（2-x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=f（x-2），
∴f（x）是周期为4的函数，
∴f（2015）=f（-1）=-f（1）=-1，故②不正确；
③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，
∴f（x+4）=f（-x），∴f（x+2）=f（2-x），
∴f（x）关于x=2对称，
∵图象关于点（1，0）成中心对称，
∴f（2-x）=-f（x），即f（2+x）=-f（-x），
又f（x+2）=f（2-x），∴f（x）=f（-x），
∴f（x）为偶函数，
∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（-1，0）上单调递减，
∴图象也关于点（-1，0）成中心对称，且在（-2，-1）上单调递减，
根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确；
④∵f（x）具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，
∴f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了对新定义的理解与应用，函数周期性，奇偶性的性质，属于中档题．