在平面直角坐标系xOy中.直线l过点P(2.6).且倾斜角为$\frac{3}{4}π$.在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度.以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴)中.曲线C的极坐标方程为$ρ=20sin(\frac{π}{4}-\frac{θ}{2})cos(\frac{π}{4}-\frac{θ}{2})$．(1)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（2，6），且倾斜角为$\frac{3}{4}π$，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为$ρ=20sin（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）cos（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）$．
（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|．

分析（1）根据直线l过点P（2，6），且倾斜角为$\frac{3π}{4}$，可得直线l的参数方程．由$ρ=20sin（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）cos（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）$得ρ=10cosθ，即ρ²=10ρcosθ．l利用互化公式即可得出曲线C的直角坐标方程．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得${t^2}+9\sqrt{2}t+20=0$，△＞0，利用|PA|+|PB|=|t₁+t₂|即可得出．

解答解：（1）∵直线l过点P（2，6），且倾斜角为$\frac{3π}{4}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
由$ρ=20sin（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）cos（\frac{π}{4}-\frac{θ}{2}）$得ρ=10cosθ，即ρ²=10ρcosθ．
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-10x=0．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得${（-3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=25$，${t^2}+9\sqrt{2}t+20=0$，△=82＞0，
可设是t₁，t₂上述方程得两个实根，则有$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=-9\sqrt{2}}\\{{t_1}{t_2}=20}\end{array}}\right.$，
又直线l过点P（2，6），所以$|{PA}|+|{PB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}+{t_2}}|=9\sqrt{2}$．

点评本题考查了直线参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．