Question

已知函数图像上一点处的切线方程为(1)求的值；(2)若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；(3)令如果的图像与轴交于两点，的中点为，求证：

 

Answer 1

(1) a＝2,b＝1. (2) (3)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)利用导数几何意义，函数在点处的导数值为切线的斜率，即 ，又 ，所以可得a＝2,b＝1. (2)利用函数与方程思想，即研究函数图像与直线有两个不同的交点，因为 ，所以当x∈时,, f(x)是增函数；当x∈时, , f(x)是减函数.且，所以 (3)正难则反，假设这样从等量关系进行逻辑推理，先列出等量关系，五个未知数，四个方程，应建立函数关系，关键是消元，观察可知应消去，得，转化为，这是关于的一元函数，利用导数可研究其单调性＞0，故，即方程无解，假设不成立.

试题解析：【解析】
(1),,.

∴,且.解得a＝2,b＝1. . (4分)

(2),设,

则,令,得x＝1(x＝－1舍去).

当x∈时,, h(x)是增函数；当x∈时,, h(x)是减函数.

则方程在内有两个不等实根的充要条件是

解得. (8分)

(3),.假设结论成立,

则有,①－②,得.

∴.由④得,于是有,∴,

即.⑤ 令, (0＜t＜1),则＞0.

∴在0＜t＜1上是增函数,有,∴⑤式不成立,与假设矛盾.

∴. (12分)

考点：利用导数求切线，利用导数求值域，利用导数证不等式