Question

4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$bsinA+acosB-2a=0．
（1）求B的值；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，结合B的范围，由此求得 B 的值．
（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵在△ABC中，由已知可得：2a=$\sqrt{3}$bsinA+acosB，
∴由正弦定理可得：2sinA=$\sqrt{3}$sinBsinA+sinAcosB，可得：2=$\sqrt{3}$sinB+cosB=2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
∵B是三角形内角，B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$
∴B=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∵b=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$，
∴（2$\sqrt{3}$）²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac≥ac，当且仅当a=c时取等号．
∴ac≤12，当且仅当a=c时取等号，即ac的最大值为12…12分

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．