Question

12．已知数列1²，-2²，3²，-4²，…，（-1）ⁿ⁺¹n²，…．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）根据（1）中的结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析 （1）按照数列和的定义计算即可
（2）按照数学归纳法的证明步骤进行证明．

解答 解：（1）S₁=1，S₂=1-4=-3，S₃=-3+9=6，S₄=6-16=-10．
（2）猜想S_n=${（-1）^{n+1}}\frac{n（n+1）}{2}$．    
证明如下：
①当n=1时，左边=S₁=1，右边=${（-1）^2}\frac{1×2}{2}=1$，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即${1^2}-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…+{（-1）^{k+1}}{k^2}={（-1）^{k+1}}\frac{k（k+1）}{2}$，
那么当n=k+1时，1²-2²+3²-4²+…+（-1）^K+1k²+（-1）^K+2（k+1）²，
=（-1）^k+1$\frac{k（k+1）}{2}$+（-1）^K+2（k+1）²，
=${（-1）^{k+2}}[-\frac{k（k+1）}{2}+{（k+1）^2}]$，
=${（-1）^{k+2}}[（k+1）（-\frac{k}{2}+（k+1）]$，
=${（-1）^{k+2}}（k+1）（\frac{k+2}{2}）={（-1）^{k+2}}\frac{（k+1）（k+2）}{2}$．
所以，当n=k+1时猜想成立． 
根据①②，可知猜想对任何n∈N*成立．

点评 本题考查了递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．