Question

8．已知平面内一动点Q到点F（4，0）的距离与点Q到直线x=-3的距离的差等于1．
（1）求动点Q的轨迹C的方程；
（2）设点B（2，5），P（1，3），点Q为轨迹C的一个动点，求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意得平面内一动点Q到点F（4，0）的距离与点Q到直线x=-4的距离相等，利用抛物线定义，即可求动点Q的轨迹C的方程；
（2）设Q（x，y），由向量的坐标运算公式，即可求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值范围．

解答 解：（1）依题意得平面内一动点Q到点F（4，0）的距离与点Q到直线x=-4的距离相等，
∴Q的轨迹为以F为焦点的抛物线，
∴动点Q的轨迹C的方程为y²=16x．
（2）$\overrightarrow{BP}$=（-1，-2），设Q（x，y），则$\overrightarrow{BQ}$=（x-2，y-5）．
$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12
=-$\frac{{y}^{2}}{16}$-2y+12=-$\frac{1}{16}$（y+16）²+28≤28．
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值范围为（-∞，28]．

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查向量数量积运算等知识，属于中档题．