Question

已知f（x）=

1+cosx-sinx

1-sinx-cosx

+

1-cosx-sinx

1-sinx+cosx

．
（I）化简f（x）；
（II） 是否存在x，使得tan

x

2

•f(x)与

1+tan2 x 2

sinx

相等？若存在，求x的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）f（x）=

1+cosx-sinx

1-sinx-cosx

+

1-cosx-sinx

1-sinx+cosx

=

(1-sinx+cosx)2+(1-sinx-cosx)2

(1-sinx-cosx)(1-sinx+cosx)

=

2(1-sinx)2+2cos2x+2cosx(1-sinx)-2(1-sinx)cosx

(1-sinx)2-cos2x

=

2(1-sinx)

sin2x-sinx

=-2cscx且x≠2kπ+

π

2

 （k∈Z）

（II）(tan

x

2

)2 = (

sin x 2

cos x 2

)2=

1-cosx

1+cosx

，
1+（tan

x

2

）²=

2

1+cosx

，
tan

x

2

•f(x)=

1+(tan x 2 )2

sinx

，

sinx

1+cosx

•

-2

sinx

=

2

(1+cosx)sinx

，
sinx=-1，x=2kπ-

π

2

（k为任意整数）
存在，此时x=2kπ+

3

2

π，k∈Z．