Question

已知

m

=（-sinαcosβ，2cosα），

n

=（2cos（-π），sin（π-β）），其中0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，且

m

•

n

=

6

5

，|

n

|=

105

5

，求tan（α+2β）．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：通过向量的数量积以及向量的模，列出关系式，然后通过两角和的正切函数求解即可．

解答： 解：

m

=（-sinαcosβ，2cosα），

n

=（2cos（-π），sin（π-β）），

m

•

n

=

6

5

．
∴-sinαcosβ•2cos（-π）+2cosαsin（π-β）=2sinαcosβ+2cosαsinβ=2sin（α+β）=

6

5

∴sin（α+β）=

3

5

，0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，α+β∈(

π

2

，π)．
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，tan（α+β）=-

3

4

．
|

n

|=

105

5

，

(2cos(-π))2+(sin(π-β))2

=

105

5

，可得sin²β=

1

5

，

π

2

＜β＜π，sinβ=

5

5

．cosβ=-

2 5

5

，
tanβ=-

1

2

．
tan（α+2β）=

tanβ+tan(α+β)

1-tanβtan(α+β)

=

- 1 2 - 3 4

1- 1 2 × 3 4

=-2．

点评：本题考查两角和的正切函数，诱导公式应用向量的数量积以及向量的模的求法，考查计算能力．