Question

设函数，，其中为实数,若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围．

 

Answer 1

a∈(e,+∞)

【解析】

试题分析：分别利用导数求出单调区间与在上的最小值，与给定的在上是单调减函数，且在上有最小值相结合，得出关于的关系式，可得的取值范围．

 

【解析】
令,

考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,

同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数．

由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1,

令g'(x)=ex-a=0,得．

当时, ;当x>时, ．

又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以,

即a>e．综上,有a∈(e,+∞)．

考点:利用导数求函数的单调区间与最值．