Question

修建一个面积为平方米的矩形场地的围墙，要求在前面墙的正中间留一个宽度为2米的出入口，后面墙长度不超过20米，已知后面墙的造价为每米45元，其它墙的造价为每米180元，设后面墙长度为x米，修建此矩形场地围墙的总费用为元.

（1）求的表达式；

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

 

Answer 1

（1）；（2）若，最小总费用为（元）.，则当时，最小总费用为（元）． .

【解析】

试题分析：（1）根据条件可以将所有墙的长度都用含的代数式表示出来，再由墙的造价，即可得到，又由条件后墙长度不超过20米及前墙留一个宽度为2米的出入口，可知；（2）由（1）中所求表达式可知，要求最小费用，即求，而是一个“对钩”函数，需对的取值范围分类讨论：①，②，从而利用“对钩”函数的单调性求的最小值.

（1）画出如下示意图，由矩形的面积为S，可知与相邻的边长为，∴总费用，

显然，∴；

（2），则，可以证明在递减，在递增.

若，即，则当时，最小总费用为（元）.

若，即，则当时，

最小总费用为（元）．

考点：1.函数的运用；2.函数单调性求极值.