Question

7．实数x，y满足$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，则3x²-2xy的最小值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$=$\frac{1}{2}$[（1-sinα）+（1+sinα）]（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可设x=2secα，y=tanα，
则3x²-2xy=12sec²α-4secαtanα
=$\frac{12}{co{s}^{2}α}$-$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$=$\frac{12-4sinα}{1-si{n}^{2}α}$
=$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$，
其中-1＜sinα＜1，
[（1-sinα）+（1+sinα）]（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$）
=12+$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$+$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$
≥12+2$\sqrt{4×8}$=12+8$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$=$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$，
解得sinα=3-2$\sqrt{2}$（3+2$\sqrt{2}$舍去），取得最小值．
则3x²-2xy的最小值是6+4$\sqrt{2}$．
故答案为：6+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的参数方程，考查三角函数的化简，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．