Question

1．已知函数f（x）=kx³-3kx²+b在区间[-2，2]上的最大值为3，最小值为-17，求k，b的值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数f（x）的单调区间，得到关于k，b的不等式组，解出即可．

解答 解：由题设知k≠0且f'（x）=3kx（x-2），0＜x＜2时，x（x-2）＜0；
x＜0或x＞2时，x（x-2）＞0； x=0和x=2时，f'（x）=0．
由题设知-2≤x≤2，f（-2）=-20k+b，f（0）=b，f（2）=-4k+b
①k＜0时，-2＜x＜0时，f'（x）＜0；0＜x＜2时，f'（x）＞0，
∴f（x）在[-2，0）上递减，在（0，2]上递增，
x=0为最小值点；∵f（-2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（-2），
即$\left\{\begin{array}{l}{-20k+b=3}\\{b=-17}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-17；
②k＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{-20k+b=-17}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得k=1，b=3．
综上，k=-1，b=-17或k=1，b=3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．