Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2${\sqrt{3}^{\;}}$，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）若E为PB的中点，且二面角A-PB-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DP⊥AC，从而BD⊥AC，进而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥DE．
（2）连接OE，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EC与平面PAB所成角θ的正弦值．

解答 证明：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
因为DE?平面PBD，∴AC⊥DE．
解：（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，
所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设PD=t，则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），
E（0，0，$\frac{t}{2}$），P（0，-$\sqrt{3}$，t）．
设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-x-\sqrt{3}y+tz=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{2\sqrt{3}}{t}$），
平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
因为二面角A-PB-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
所以|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+\frac{12}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以t=2或t=-2（舍）
$P（0，-\sqrt{3}，2$），E（0，0，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{EC}=（-1，0-1）$，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{EC}，n＞|=\frac{{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}}{{\sqrt{7}•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，
∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．