Question

7．如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，BC=4，EF=2，四边形EFCB是高为$\sqrt{3}$的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥CF；
（2）求二面角F-AE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AO⊥EF，从而AO⊥平面EFCB，由此能证明AO⊥CF．
（2）取 BC中点D，以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-AE-B的正弦值．

解答 证明：（1）∵在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF⊥∩平面EFCB=EF，
∴AO⊥平面EFCB，
∵CF?平面EFCB，
∴AO⊥CF．
解：（2）取 BC中点D，以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，$\sqrt{3}$），E（1，0，0），F（-1，0，0），B（2，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角F-AE-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角F-AE-B的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．