Question

在x∈[

1

2

，2]上，函数f（x）=x²+px+q与g（x）=

3x

2

+

3

2x

在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在x∈[

1

2

，2]上的最大值是（　　）

• A、

  13

  4

• B、4
• C、8
• D、

  5

  4

Answer 1

分析：由于两函数在同一点出取到相同的最小值，故本题应先从g（x）=

3x

2

+

3

2x

的最值上研究，观察其形式可以看出，可以用基本不等式求最小值，由此得到函数f（x）=x²+px+q在x∈[

1

2

，2]上的最小值，由此得出参数p，q的关系，求出两个参数的值，问题得到求解．

解答：解：∵在x∈[

1

2

，2]上，g（x）=

3x

2

+

3

2x

≥3，当且仅当x=1时等号成立
∴在x∈[

1

2

，2]上，函数f（x）=x²+px+q在x=1时取到最小值3，
∴

- p 2 =1 1+p+q=3

解得p=-2，q=4
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+4，
∴当x=2时取到最大值4
故选B

点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，考查了基本不等式求最值与二次函数求最值，利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件，及相关两项的符号．本题中两个求最值的方法在高中阶段应用都很广泛，注意总结此两种求最值方法的规律．