Question

18．在直角坐标平面内，已知两点A（1，0），B（4，0），设M是平面内的动点，并且|${\overrightarrow{BM}}$|=2|${\overrightarrow{AM}}$|．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）自点B引直线l交曲线E于Q，N两点，求证：射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件，设点M坐标，代入|${\overrightarrow{BM}}$|=2|${\overrightarrow{AM}}$|，化简即可得动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）射线AQ与射线AN关于直线x=1对称，证明k_QA+k_NA=0即可．

解答 （Ⅰ）解：设M（x，y），$|{\overrightarrow{BM}}|=\sqrt{{{（x-4）}^2}+{y^2}}$，$|{\overrightarrow{AM}}|=\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，
由于$|{\overrightarrow{BM}}|=2|{\overrightarrow{AM}}|$，则$\sqrt{{{（x-4）}^2}+{y^2}}$=$2\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，
化简得，x²+y²=4，
动点M的轨迹E的方程x²+y²=4．-------（4分）
（Ⅱ）证明：设Q（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l：y=k（x-4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-8k²x+16k²-4=0，
判别式△=16（1-3k²）＞0，解之：$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}$，
又因为y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），k_QA+k_NA=$\frac{y_1}{{{x_1}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}$=$\frac{{k（{x_1}-4）（{x_2}-1）+k（{x_2}-4）（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$
=$k\frac{{2{x_1}{x_2}-5（{x_1}+{x_2}）+8}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，
由于2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=$2•\frac{{16{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}$$-5•\frac{{8{k^2}}}{{1+{k^2}}}$+$8•\frac{{1+{k^2}}}{{1+{k^2}}}$=0，
所以，k_QA+k_NA=0，即，k_QA=-k_NA，
因此，射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．-----------（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．