Question

20．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y-3=0平行．
（1）求实数a的值；
（2）?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率由两直线平行的条件可得a的方程，解得a；
（2）由题意可得$\frac{x}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，即k＜1-2•$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$，由g（x）=$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$，判断函数g（x）为偶函数，考虑x＞0，$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2x-（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{2（{e}^{x}-{e}^{-x}）}$，再由2x-（e^x-e^-x）的导数，判断单调性，即可得到k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{a（1+{e}^{x}）-ax{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=$\frac{a}{2}$-1，
由切线与直线x+2y-3=0平行，可得$\frac{a}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
解得a=1；
（2）?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，
即为$\frac{x}{{e}^{x}+1}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{k}{{e}^{x}}$，
即k＜1-2•$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$，
由g（x）=$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$=$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，g（-x）=$\frac{-x}{{e}^{-x}-{e}^{x}}$=g（x），
可得g（x）为偶函数，
由x＞0可得$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2x-（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{2（{e}^{x}-{e}^{-x}）}$，
由e^x-e^-x＞0，2x-（e^x-e^-x）的导数为2-（e^x+e^-x），
由e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
即有2-（e^x+e^-x）≤0，
2x-（e^x-e^-x）在x＞0递减，可得2x-（e^x-e^-x）＜0，
可得$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-$\frac{1}{2}$＜0，即为得$\frac{x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$＜$\frac{1}{2}$，
即有1-2•$\frac{x{e}^{x}}{{e}^{2x}-1}$＞0，
则有k≤0．即有实数k的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意参数分离的运用和构造函数，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．