Question

3．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c且$bcosC=\sqrt{2}acosB-ccosB$，
（1）求角B大小
（2）设A=θ，求函数$f（θ）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+θ）-\sqrt{3}cos2θ-2$的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；
（2）由（1）和内角和定理求出C，根据△ABC是锐角三角形列出不等式求出θ的范围，由二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出函数的值域．

解答 解：（1）∵$bcosC=\sqrt{2}acosB-ccosB$，
∴由正弦定理得，sinBcosC=$\sqrt{2}$sinAcosB-sinCcosB，
则$sin（B+C）=\sqrt{2}sinAcosB$，
又sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）得，C=π-A-B=$\frac{3π}{4}-θ$，
∵△ABC是锐角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{3π}{4}-θ＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}$，
∵$f（θ）=2si{n}^{2}（\frac{π}{4}+θ）-\sqrt{3}cos2θ-2$
=$1-cos（\frac{π}{2}+2θ）-\sqrt{3}cos2θ-2$=$sin2θ-\sqrt{3}cos2θ-1$
=$2sin（2θ-\frac{π}{3}）-1$，
由$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{6}＜2θ-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（2θ-\frac{π}{3}）≤1$，则$0＜2sin（2θ-\frac{π}{3}）-1≤1$，
即函数f（x）的值域是（0，1]．

点评 本题考查了正弦定理，两角和（差）的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．