Question

12．若z∈C，i为虚数单位，且$\frac{z}{{|z{|^2}}}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$，则复数z等于（　　）

• A． $\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$
• B． $\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$
• C． $\frac{5}{3}-\frac{5}{4}i$
• D． $\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$

Answer 1

分析 设z=a+bi（a，b∈R），且$\frac{z}{{|z{|^2}}}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$，可得$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$i=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{5}$i，因此$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-$\frac{4}{5}$，解出即可得出．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），且$\frac{z}{{|z{|^2}}}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$，
则$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$i=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{5}$i，
∴$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-$\frac{4}{5}$，
联立解得a=$\frac{3}{5}$，b=-$\frac{4}{5}$．
∴z=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{5}$i，
故选：B．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．