Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+

π

4

）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程；利用极坐标公式，把圆C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求出圆C的圆心与半径R，利用直线l的参数方程，计算直线l上的点P向圆C引切线长的最小值即可．

解答：解：（1）∵直线l的参数方程

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t为参数），
∴消去参数，化为普通方程是l：x-y+4

2

=0；
∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+

π

4

），
即ρ²=2ρcosθ•

2

2

-2ρsinθ•

2

2

，
∴化为普通方程是x²+y²-

2

x+

2

y=0；
（2）∵圆C的直角坐标方程为x2+y2-

2

x+

2

y=0，
∴圆心为（

2

2

，-

2

2

），半径R为1；
∵直线l的参数方程为

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t为参数），
∴直线l上的点P（

2

2

t，

2

2

t+4

2

）向圆C 引切线长是

PC2-R2

=

( 2 2 t- 2 2 )2+( 2 2 t+4 2 + 2 2 )2-12

=

(t+4)2+24

≥2

6

，
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2

6

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时通常把参数方程与极坐标化为普通方程来解答，是综合题．