Question

11．已知f（x）=cosx（${2\sqrt{3}$sinx-cosx）+cos²（${\frac{π}{2}$-x）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}{2c-b}$，若不等式f（B）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）借助辅助角公式，将f（x）化简为一个三角函数式，由此得到对称轴．
（Ⅱ）由正弦定理得到A，由此得到B的范围，即可得到f（B）的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx（${2\sqrt{3}$sinx-cosx）+cos²（${\frac{π}{2}$-x）+1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴为x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
（Ⅱ）在△ABC中，∵$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}{2c-b}$，由正弦定理得$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{2sinC-sinB}$，
可变形得，sin（A+B）=2cosAsinC，即sinC=2cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
∴f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+1，只需f（x）_max＜m，
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤1，即0＜f（B）≤3，
∴m＞3．

点评 本题考查三角函数的化简以及由正弦定理得到最值问题．