题目内容

某学校举行投篮比赛，比赛规则如下：每次投篮投中一次得2分，未中扣1分，每位同学原始积分均为0分，当累积得分少于或等于-2分则停止投篮，否则继续，每位同学最多投篮5次．且规定总共投中5、4、3次的同学分别为一、二、三等奖，奖金分别为30元、20元、10元．某班甲、乙、丙同学相约参加此活动，他们每次投篮命中的概率均为
1
2
，且互不影响．
（1）求甲同学能获奖的概率；
（2）记甲、乙、丙三位同学获得奖金总数为X，求X的期望EX．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（1）由题意，利用互斥事件加法公式能求出甲同学能获奖的概率．
（2）记甲同学获得奖金为Y，Y=0，10，20，30，分别求出相应的概率能求出EY，由EX=3EY能求出X的期望EX．
解答： 解：（1）由题意知，甲同学能获奖的概率：
P=[
C
3
5
(
1
2
)5-(
1
2
)5]+
C
4
5
(
1
2
)5+(
1
2
)5=
15
32
．（6分）
（2）记甲同学获得奖金为Y，
Y=0，10，20，30，
P（Y=0）=
C
0
5
(
1
2
)5+
C
1
5
(
1
2
)(
1
2
)4+
C
2
5
(
1
2
)2(
1
2
)3=
1
2
，
P（Y=10）=
C
3
5
(
1
2
)3(
1
2
)2=
5
16
．
P（Y=20）=
C
4
5
(
1
2
)4(
1
2
)=
5
32
，
P（Y=30）=
C
5
5
(
1
2
)5=
1
32
，
则Y的分布列如下：
Y0102030

P
1
2
5
16
5
32
1
32
-----（10分）
∴EY=0×
1
2
+10×
5
16
+20×
5
32
+30×
1
32
=
115
16
，（11分），
EX=3EY=
345
16
．（13分）
点评：本题考查概率的求法，考查注意离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
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当m为何值时，方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根．
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（1）若
DA
+
DB
+
DC
=
0
，求|
OD
|；
（2）设
OD
=m
AB
+n
AC
（m，n∈R），用x，y表示m-n．
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（2）x=
a
2
时，y=a2；
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x
2(a-x)
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已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x2-2，
（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值．

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