Question

11．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AD₁C把正方体分成两部分．求：
（1）直线C₁B与平面AD₁C所成的角；
（2）平面C₁D₁DC与平面AD₁C所成二面角的平面角的余弦值；
（3）两部分中体积大的部分的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C₁B与平面AD₁C所成的角．
（2）求出平面AD₁C的法向量和平面C₁D₁DC的法向量，利用向量法能求出平面C₁D₁DC与平面AD₁C所成二面角的平面角的余弦值．
（3）求出${V}_{{D}_{1}-ADC}$和正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积，由此能求出两部分中体积大的部分的体积．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则C₁（0，a，a），B（a，a，0），A（a，0，0），D₁（0，0，a），C（0，a，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（a，0，-a），$\overrightarrow{AC}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-a，0，a），
设平面AD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-ax+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-ax+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设直线C₁B与平面AD₁C所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=0，
∴直线C₁B与平面AD₁C所成的角为0°．
（2）平面AD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面C₁D₁DC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面C₁D₁DC与平面AD₁C所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面C₁D₁DC与平面AD₁C所成二面角的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）∵S_△ADC=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，∴${V}_{{D}_{1}-ADC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=a³，
∴两部分中体积大的部分的体积V_大=V-${V}_{{D}_{1}-ADC}$=${a}^{3}-\frac{{a}^{3}}{6}$=$\frac{5{a}^{3}}{6}$．

点评 本题考查线面角的求法，考查二面角的求法，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．