Question

7．已知定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，设任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂．求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．

Answer 1

分析 把f（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$代入|f（x₁）-f（x₂）|，首先分子有理化，然后利用放缩法证明得答案．

解答 证明：|f（x₁）-f（x₂）|=|$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}-\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$|=|$\frac{（\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}-\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}）（\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}）}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|
=|$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|=$\frac{|{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}|}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$＜$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}||{x}_{1}+{x}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}}}$=$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}||{x}_{1}+{x}_{2}|}{|{x}_{1}|+|{x}_{2}|}$$≤\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}||{x}_{1}+{x}_{2}|}{|{x}_{1}+{x}_{2}|}$
=|x₁-x₂|．

点评 本题考查不等式的证明，训练了放缩法证明函数不等式，是中档题．