Question

20．设p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{36}$）的定义域为R； q：2^x-4^x$＜2a-\frac{3}{4}$对一切实数x恒成立．如果命题“p且q“为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 p：由题意可得：ax²-x+$\frac{a}{36}$＞0恒成立，对a分类讨论：a=0时不满足，舍去；a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{9}＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．对于命题q：g（x）=2^x-4^x=$-（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$，可得$2a-\frac{3}{4}$$＞\frac{1}{4}$，解得a范围．若命题“p且q“为真命题，则p与q都为真命题，求得a范围．由于“p且q“为假命题，则p与q至少一个为假命题，即可得出．

解答 解：∵p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{36}$）的定义域为R，
∴ax²-x+$\frac{a}{36}$＞0恒成立，a=0时不满足，舍去；
a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{9}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞3．
对于命题q：g（x）=2^x-4^x=$-（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$，∴$2a-\frac{3}{4}$$＞\frac{1}{4}$，解得a$＞\frac{1}{2}$．
若命题“p且q“为真命题，则p与q都为真命题，于是$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a＞3．
由于“p且q“为假命题，则p与q至少一个为假命题，∴a≤3．
∴实数a的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了函数的性质、复合命题的真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．