Question

6．2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．
（1）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；
（2）①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少？
②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取3人，用ξ表示所选3人中甲组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；其中n=a+b+c+d
独立性检验临界表：

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.010
K	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）作出2×2列联表，由列联表数据代入公式求出K²≈1.83＜2.706，从而得到没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．
（2）①用A表示“至少有1 人在甲组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在甲组的概率．
②由题意知，ξ～$B（3，\frac{2}{5}）$，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）作出2×2列联表：

	甲组	乙组	合计
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合计	12	18	30

由列联表数据代入公式得${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}≈1.83$，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．（6分）
（2）①用A表示“至少有1人在甲组”，则$p（A）=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{7}{10}$．（8分）
②由题知，抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生，抽取1名学生是甲组学生的概率为$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是$\frac{2}{5}$，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，于是ξ服从二项分布$B（3，\frac{2}{5}）$．
显然ξ的取值为0，1，2，3．且$P（ξ=k）=C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（1-\frac{2}{5}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$．
所以得分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

数学期望$Eξ=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$（12分）

点评 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查二项分布的性质的合理运用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．