Question

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．

（1）求证：MN∥平面AA1C1C；

（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB?平面CMN．

 

 

Answer 1

（1）详见解析，（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，需先证明线线平行.证明线线平行，需先利用平行四边形. 取A1C1的中点P，则可得四边形AMNP为平行四边形，所以MN∥AP．因为AP?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C．（2）条件中面面垂直，需先化为线面垂直. 因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN?平面CC1B1B，CN?BC,所以CN⊥平面ABC．因为AB?平面ABC，所以CN⊥AB．因为CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN＝C，所以AB⊥平面CMN．

试题解析：证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．

因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝A1B1． 2分

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．

故NP∥AB，且NP＝AB．

因为M为AB的中点，所以AM＝AB．

所以NP＝AM，且NP∥AM．

所以四边形AMNP为平行四边形．

所以MN∥AP． 4分

因为AP?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，

所以MN∥平面AA1C1C． 6分

（2）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB． 8分

因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．

在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN?BC．

因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN?平面CC1B1B，

所以CN⊥平面ABC． 10分

因为AB?平面ABC，所以CN⊥AB． 12分

因为CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN＝C，

所以AB⊥平面CMN． 14分

考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理，线面垂直判定定理