Question

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数 M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函．给出下面三个函数：①f（x）=1；②f（x）=x²；③．其中属于有界泛函的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：根据有界泛函的定义逐项判断即可：①可取x=0说明f（x）不属于有界泛函；②可说明x≠0时，有无最大值；③可根据定义作出证明；
解答：解：①对于f（x）=1，当x=0时，有|f（x）|=1＞M×0=0，故f（x）=1不属于有界泛函；
②对于f（x）=x²，当x≠0时，有无最大值，f（x）=x²不属于有界泛函；
③对于f（x）=，当x≠0时，有=，当x=0时，|f（x）|=，
故f（x）=属于有界泛函；
故选C．
点评：本题考查函数恒成立问题、新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意体会恒成立问题的否定方法．