题目内容

为研究“原函数与其反函数的图象的交点是否在直线y＝x上”这个课题，我们分三步研究：

(1)首先选取如下函数：y＝2x＋1，，，分别求出以上函数与其反函数图象的交点坐标；

(2)观察分析上述结果得到研究结论；

(3)对得到的结论进行证明．

答案：
解析：

　　(1)与其反函数的交点坐标为；　　(1分)

　　与其反函数的交点坐标为；　　(3分)

　　与其反函数的交点坐标为．　　(6分)

　　(2)原函数图象与其反函数图象的交点关于直线对称，但不一定在直线上．　　(10分)

　　(3)设点是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线对称，则点也是的图象与其反函数图象的交点，且有．　　(12分)

　　①若，交点显然在直线上．　　(13分)

　　②若且是增函数时，有，从而有，与矛盾；若且是增函数时，有，从而有，与矛盾．　　(15分)

　　③若且是减函数时，有，从而有成立，此时交点不在直线上；

　　同理，若且是减函数时，交点也不在直线上．　　(17分)

　　综上，若函数是增函数，且的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线上；若函数是减函数，且的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线上．　　(18分)


练习册系列答案
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为研究“原函数与其反函数的图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们分三步研究：
（1）首先选取如下函数：y=2x+1，y=
2x
x+1
，y=-
x+1
，分别求出以上函数与其反函数图象的交点坐标；
（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．
（2006•崇文区一模）为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们可以分三步进行研究：
（I）首先选取如下函数：y=2x+1，y=
2x
x+1
，y=-
x+1

求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：y=2x+1与其反函数y=
x-1
2
的交点坐标为（-1，-1）y=
2x
x+1
与其反函数y=
x
2-x
的交点坐标为（0，0），（1，1）y=-
x+1
与其反函数y=x2-1，（x≤0）的交点坐标为（
1-
5
2
，
1-
5
2
），（-1，0），（0，-1）
（II）观察分析上述结果得到研究结论；
（III）对得到的结论进行证明．现在，请你完成（II）和（III）．

为研究“原函数与其反函数的图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们分三步研究：
（1）首先选取如下函数：y=2x+1，数学公式，数学公式，分别求出以上函数与其反函数图象的交点坐标；
（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．
为研究“原函数与其反函数的图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们分三步研究：
（1）首先选取如下函数：y=2x+1，y=
2x
x+1
，y=-
x+1
，分别求出以上函数与其反函数图象的交点坐标；
（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．

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