Question

3．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D与平面A₁BC₁交于H点，E是DD₁的中点，$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FD}$．
（1）求证：EF∥平面A₁BC₁
（2）证明：H为三角形A₁BC₁的重心．

Answer 1

分析 （1）连接B₁D₁交A₁C₁于O，O为A₁C₁的中点，连接AC交BD于O₁，O₁是BD的中点，连接D₁O₁，证明OB∥D₁O₁，证明EF∥OB，即可证明以EF∥平面A₁BC₁
（2）证明BH=2HO，又BO为三角形A₁BC₁的中线，推出H为三角形A₁BC₁的重心．

解答 证明：（1）连接B₁D₁交A₁C₁于O，O为A₁C₁的中点，
连接AC交BD于O₁，O₁是BD的中点，连接D₁O₁，
在长方体中，OD₁∥BO₁且OD₁=BO₁，所以BOD₁O₁为平行四边形，所以OB∥D₁O₁，
又$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FD}$，所以F为DO₁的中点，E为DD₁的中点，所以EF∥D₁O₁
EF∥OB，OB?平面A₁BC₁，EF?平面A₁BC₁，
所以EF∥平面A₁BC₁
（2）在矩形BB₁D₁D中，B₁D∩B₁D=M，M∈B₁D且M∈BO?平面A₁BC₁，
所以M为直线B₁D与平面A₁BC₁的公共点，所以M点就是H点．
又在矩形BB₁D₁D中，三角形B₁OH相似于三角形BDH，
又${B_1}O=\frac{1}{2}BD$，所以BH=2HO，又BO为三角形A₁BC₁的中线，
所以H为三角形A₁BC₁的重心．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间点的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．是课本题改编（课本79页题改编）．