题目内容

直角三角形ABC的两条直角边 $数学公式$ ．A，B两点分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，P，Q分别为AC，BC的中点．则 $数学公式$ 的最大值是

A.
1
B.
2
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：设AB的中点为E，则由题意可得OE= $\text{[math]}$ AB=1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义化简 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，故当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 最大为 2 $\text{[math]}$ ，从而得到结果．
解答：设AB的中点为E，则由题意可得OE= $\text{[math]}$ AB=1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
由于OA⊥OB，AC⊥BC，∴ $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故当 $\text{[math]}$ 共线时，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 最大为 2 $\text{[math]}$ =2×1=2，
故选B．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．