Question

7．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树． 在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：
（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量a_n，及松树数量b_n关于n的表达式．
（2）定义：f（n+1）-f（n）（n∈N^*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9-1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25-9=16棵，从而类比可得n=5时，果树25棵，松树121-81=40棵；从而可得${a_n}={n^2}$，b_n=8n；
（2）化简${a_{n+1}}-{a_n}={（{n+1}）^2}-{n^2}=2n+1$，b_n+1-b_n=8（n+1）-8n=8，从而判断．

解答 解：（1）由题意知，
n=1时，果树1棵，松树9-1=8棵，
n=2时，果树4棵，松树25-9=16棵，
n=3时，果树9棵，松树49-25=24棵，
n=4时，果树16棵，松树81-49=32棵，
n=5时，果树25棵，松树121-81=40棵；
故${a_n}={n^2}$，b_n=8n；
（2）${a_{n+1}}-{a_n}={（{n+1}）^2}-{n^2}=2n+1$，
b_n+1-b_n=8（n+1）-8n=8，
当n≤3时，2n+1＜8，松树增加的速度快；
当n≥4时，2n+1＞8，果树增加的速度快．

点评 本题考查了数列的应用及数列的增长速度的判断，属于中档题．