Question

20．已知函数f（x）=x|a-x|+2x．
（1）当a=4时，写出函数f（x）的单调递增区间（不需要过程）；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在a∈[-2，4]，使得函数y=f（x）-at有三个零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分类讨论得出分段函数，结合二次函数单调性求解即可．
（2）根据分段函数的单调性得出，最值满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}≤a}\\{\frac{a+2}{2}≥a}\end{array}\right.$即可．
（3）分类讨论判断零点个数满足情况，得出函数式子，利用得出函数性质判断，结合不等式：2a$＜at＜\frac{（a+2）^{2}}{4}$求解即可．

解答 解：（1）a=4，f（x）=x|x-4|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥4}\\{6x-{x}^{2}，x＜4}\end{array}\right.$
∴f（x）的单调递增区间[4，+∞），（-∞，3）
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x，x≥a}\\{-{x}^{2}+（2+a）x，x＜a}\end{array}\right.$
∵函数f（x）在R上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}≤a}\\{\frac{a+2}{2}≥a}\end{array}\right.$
即2-≤a≤2
求实数a的取值范围：-2≤a≤2，
（3）①当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，所以显然不可能有三个零点，
②当a∈（2，4]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\\{-{x}^{2}+（2-a）x，x≤a}\end{array}\right.$
∵y=f（x）-at有三个零点，
∴根据二次函数性质得出：2a$＜at＜\frac{（a+2）^{2}}{4}$即可，
∴2$＜t＜\frac{（a+2）^{2}}{4a}$，
∴2$＜t＜\frac{9}{4}$

点评 本题综合考察了函数的概念，性质，不等式的运用，属于综合题目，难度较大，理解好零点问题即可．