Question

4．已知f（x）是定义在R上的函数，若方程f（f（x））=x有且仅有一个实数根，则f（x）的解析式可能是（　　）

• A． f（x）=|2x-1|
• B． f（x）=e^x
• C． f（x）=x²+x+1
• D． f（x）=sinx

Answer 1

分析 对于A，解绝对值的方程可得四个实数解，即可判断；对于B，运用函数y=e^x-x的单调性，即可判断；
对于C，由方程化简和非负数的概念，即可判断；对于D，由y=sinx-x的单调性，即可判断．

解答 解：对于A，由f（f（x））=x，即为|2|2x-1|-1|=x，可得x=1或$\frac{1}{3}$或$\frac{1}{5}$或$\frac{3}{5}$，故A不可能；
对于B，由（e^x-x）′=e^x-1，可得y=e^x-x的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0），
即e^x-x的最小值为e⁰-0=1＞0，即有e^x＞x恒成立，则f（f（x））=x无实数解，故B不可能；
对于C，f（x）=x²+x+1，f（f（x））=（x²+x+1）²+（x²+x+1）+1=x，即为（x²+x+1）²+x²+2=0无实数解，
故C不可能；
对于D，由y=sinx-x的导数为y′=cosx-1≤0，可得函数y=sinx-x在R上递减，由x=0时，y=sin0-0=0，
可得sin（sin0）=sin0=0，且sin（sinx）-x在R上单调，则f（f（x））=x有且仅有一个实数根0，故D可能．
故选：D．

点评 本题考查函数方程的转化思想的运用，考查函数的单调性和导数的运用，考查运算能力，属于中档题．