Question

4．在△ABC中，A、B、C为它的三个内角，设向量$\overrightarrow{p}$=（cos$\frac{B}{2}$，sin$\frac{B}{2}$），$\overrightarrow{q}$=（cos$\frac{B}{2}$，-sin$\frac{B}{2}$），且$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
（1）求角B的大小；
（2）已知tanC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\frac{sin2AcosA-sinA}{sin2Acos2A}$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用向量的数量积公式求出$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$，利用向量模的公式求出两个向量的模，利用向量的夹角公式即可求出角B．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，cosC，进而利用两角和的余弦函数公式可求cosA的值，利用倍角公式化简所求后即可计算得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{p}$=（cos$\frac{B}{2}$，sin$\frac{B}{2}$），$\overrightarrow{q}$=（cos$\frac{B}{2}$，-sin$\frac{B}{2}$），且$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{q}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴|$\overrightarrow{p}$|=1，|$\overrightarrow{q}$|=1，
∴$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=cos²$\frac{B}{2}$-sin²$\frac{B}{2}$=cosB，
∴cos＜$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$＞=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}|•\overrightarrow{|q|}}$=cosB，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵tanC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×$$\frac{\sqrt{21}}{7}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∴$\frac{sin2AcosA-sinA}{sin2Acos2A}$=$\frac{2sinAco{s}^{2}A-sinA}{2sinAcosAcos2A}$=$\frac{2co{s}^{2}A-1}{2cosAcos2A}$=$\frac{cos2A}{2cosAcos2A}$=$\frac{1}{2cosA}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了向量的数量积公式，向量的夹角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．