Question

1．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，
（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；
（Ⅱ）若$b-c=\frac{1}{3}a$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．
（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求$c=b-\frac{1}{3}a=\frac{7}{3}t$，利用余弦定理即可得解cosC的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB
又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵a：b=2：3，∴A＜B，即$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
∴$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$．…（7分）
（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则$c=b-\frac{1}{3}a=\frac{7}{3}t$，
则$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{{（2t）}^2}+{{（3t）}^2}-{{（\frac{7}{3}t）}^2}}}{2×（2t）×（3t）}=\frac{17}{27}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．