Question

7．已知从某批产品中随机抽取1件是二等品的概率为0.2．
（1）若从该产品中有放回地抽取产品2次，每次抽取1件，设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，求P（A）；
（2）若该批产品共有20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）记A₀表示事件“取出的2件产品中没有二等品”，A₁表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则A₁与A₀互斥，且A=A₀+A₁，由此能求出事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）记A₀表示事件“取出的2件产品中没有二等品”，
A₁表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，
则A₁与A₀互斥，且A=A₀+A₁，
∴P（A）=P（A₀）+P（A₁）=（1-0.2）²+C${\;}_{2}^{1}$×0.2×（1-0.2）=0.96．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
该产品共有二等品20×0.2=4（件），
P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{12}{19}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{16}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{32}{90}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{93}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

E（X）+$0×\frac{12}{19}+1×\frac{32}{95}+2×\frac{3}{95}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和排列组合知识的合理运用．