Question

16．以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示． 
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（Ⅱ）当a=3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学中乙同学的成绩比甲同学的成绩好的概率．
（Ⅲ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解a的值；
（Ⅱ）用枚举法列出所有可能的成绩结果，求出这两名同学中乙同学的成绩比甲同学的成绩好，然后由古典概率模型概率计算公式求概率．
（Ⅲ）由（Ⅰ）中求得的结果可得，当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率．

解答 解：（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得$\frac{1}{3}$（88+92+92）=$\frac{1}{3}$[90+91+（90+a）]，
解得a=1；
（Ⅱ）设“这两名同学中乙同学的成绩比甲同学的成绩好”为事件B，
当a=3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：
（88，90），（88，91），（88，93），（92，90），（92，91），（92，93），（92，90），
（92，91），（92，93）．
∴事件B的结果有5种，它们是：（88，90），（88，91），（88，93），（92，93），（92，93）．
∴P（B）=$\frac{5}{9}$．
（Ⅲ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．
由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是中档题．