Question

5．已知数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．若不等式λS_n≥a_n-2016对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的最小值为$\frac{1}{2017}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式求得数列首项和公差，进一步求得数列通项和前n项和，代入λS_n≥a_n-2016，分离参数λ，然后利用二次函数求得最值得答案．

解答 解：由a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$，得a_n²=S_2n-1，
令n=1，n=2，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}={S}_{1}}\\{{{a}_{2}}^{2}={S}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}={a}_{1}}\\{（{a}_{1}+d）^{2}=3{a}_{1}+3d}\end{array}\right.$，
∵a_n≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
${S}_{n}=n×1+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}$．
由不等式λS_n≥a_n-2016，得λn²≥2n-1-2016=2n-2017．
∴$λ≥\frac{2n-2017}{{n}^{2}}=\frac{2}{n}-\frac{2017}{{n}^{2}}$．
由二次函数的性质可知，当$\frac{1}{n}=\frac{1}{2017}$，即n=2017时，$（\frac{2}{n}-\frac{2017}{{n}^{2}}）_{max}=\frac{2}{2017}-\frac{2017}{201{7}^{2}}=\frac{1}{2017}$．
∴实数λ的最小值为$\frac{1}{2017}$．
故答案为：$\frac{1}{2017}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．