Question

如图，有一块抛物线形钢板，其垂直于对称轴的边界线AB长为2r，高为4r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，以AB为下底，上底CD的端点在抛物线上，记CD=2x，梯形面积为S．求面积S，使其为以x为自变量的函数式，并写出其定义域．

Answer 1

分析：建立平面直角坐标系，则B（r，-4r），设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），代入确定抛物线的方程，进而确定点C的纵坐标，由此可得梯形的面积及函数的定义域．

解答：解：建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则B（r，-4r）
设抛物线方程为x²=-2py（p＞0）
∵B（r，-4r）在抛物线上，
∴r²=8pr，
∴p=

r

8

∴抛物线方程为x2=-

r

4

y
∵C的横坐标为x，则点C的纵坐标为y=-

4x2

r

∴梯形ABCD的高为h=4r-

4x2

r

∴S=

1

2

(2r+2x)•(4r-

4x2

r

)=

4

r

(x+r)(r2-x2)
其定义域为（0，r）．

点评：本题考查抛物线的运用，考查梯形面积的计算，确定抛物线的解析式是关键．