Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{3}$，AA₁=1，∠BAC=90°，D为线段BC的中点．
（1）求异面直线B₁D与AC所成角的大小；
（2）求二面角D-A₁B₁-A的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B₁D与AC所成角的大小．
（2）求出平面A₁B₁D的法向量和平面A₁B₁A的法向量，利用向量法能求出二面角D-A₁B₁-A的大小．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），B₁（2$\sqrt{2}$，0，1），D（$\sqrt{2}，\sqrt{3}，0$），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
设异面直线B₁D与AC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}D}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}D}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴异面直线B₁D与AC所成角的大小为$\frac{π}{4}$．
（2）$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$=（2$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{3}，-1$），
设平面A₁B₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\sqrt{2}x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，3），
又平面A₁B₁A的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角D-A₁B₁-A的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}$=$\frac{1}{2}$，∴α=$\frac{π}{3}$，
∴二面角D-A₁B₁-A的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．