题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．

解：（1）当x∈（0，1]时，f'（x）=-a• $\text{[math]}$ +1，∵f'（x）在（0，1]上是增函数，∴f'（x）≥0在（0，1]上恒成立．即a≤ $\text{[math]}$ ]上恒立，而0＜x≤1时， $\text{[math]}$ ，∴0＜a≤ $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）知
①当0＜a≤ $\text{[math]}$ ]上是增函数，∴[f（x）]_max=f（1）=（- $\text{[math]}$ -1）a+1
②当a＞ $\text{[math]}$ ]，∴0＜x＜ $\text{[math]}$ 时f'（x）＞0
$\text{[math]}$ ＜x≤1时f'（x）＜0，∴[f（x）]_max=f（ $\text{[math]}$
综上知，当0＜a≤ $\text{[math]}$ -1）a+1；当a＞ $\text{[math]}$
分析：（1）先求导函数，由于f（x）在（0，1]上是增函数，f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，从而可解；
（2）由（1）知①当0＜a≤ $\text{[math]}$ ]上是增函数；当 $\text{[math]}$ 时，利用求最值的方法求最值．
点评：本题的考点是函数的最值及其几何意义，考查了函数单调性与导数的关系，考查了不等式恒成立求参数问题的转化方向，利用单调性求函数的最小值．涉及到的知识点较多，综合性强．