Question

13．设函数f（x）=x²-（m-1）x+2m
（1）若函数f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在（0，1）内有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立⇒m（x-2）＜x²+x在（0，+∞）上恒成立，按x=2，x＞2时，0＜x＜2分类求解；
（2）函数f（x）在（0，1）内有零点，⇒m（x-2）=x²+x在（0，1）上有解，m=$\frac{{x}^{2}+x}{x-2}=（x-2）+\frac{6}{x-2}+5$，在（0，1）上有解．

解答 解：（1）∵函数f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立⇒x²-（m-1）x+2m＞0在（0，+∞）上恒成立，
⇒m（x-2）＜x²+x在（0，+∞）上恒成立，
①当x=2时，m∈R，
②x＞2时，m＜$\frac{{x}^{2}+x}{x-2}=（x-2）+\frac{6}{x-2}+5$，∵$\frac{{x}^{2}+x}{x-2}=（x-2）+\frac{6}{x-2}+5$≥2$\sqrt{6}$+5，∵m＜2$\sqrt{6}$+5；
③0＜x＜2时，m＞$\frac{{x}^{2}+x}{x-2}=（x-2）+\frac{6}{x-2}+5$，∵（x-2）+$\frac{6}{x-2}$=-[（2-x）+$\frac{6}{2-x}$]＜-5，
$\frac{{x}^{2}+x}{x-2}=（x-2）+\frac{6}{x-2}+5$＜0，∴m≥0$\sqrt{6}+5$
综上可知，m的取值范围：0≤m＜2$\sqrt{6}$+5．
（2）函数f（x）在（0，1）内有零点，⇒m（x-2）=x²+x在（0，1）上有解，m=$\frac{{x}^{2}+x}{x-2}=（x-2）+\frac{6}{x-2}+5$在（0，1）上有解．
令2-x=t，t∈（1，2），函数g（t）=t+$\frac{6}{t}+5$，t∈（1，2）时单调递减，g（t）=∈（5，7）
x∈（0，1），$\frac{{x}^{2}+x}{x-2}=（x-2）+\frac{6}{x-2}+5$∈（-2，0）．
故m的取值范围：（-2，0）．

点评 本题考查了恒成立问题的转化思想，也考查了分类讨论思想，函数的零点应用问题，是综合题．