Question

17．已知a、b∈R⁺，且a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥m，恒成立的实数m的最大值是4．

Answer 1

分析 由题意可得m≤$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值，运用乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值，进而得到m的最大值．

解答 解：a、b∈R⁺，且a+b=1，
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=1+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$
≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，取得最小值4．
由$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥m恒成立，可得m≤4．
则m的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求最值，运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．