Question

1．如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点．
（Ⅰ）若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，求此圆锥的体积和侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形三线合一得出QB⊥SC，QB⊥OC，故而QB⊥平面SOC，于是QB⊥OH，结合OH⊥SC得出OH⊥平面SQB；
（Ⅱ）利用圆的性质和勾股定理求出圆锥的底面半径，根据轴截面的性质求出圆锥的高和母线长，代入公式计算体积和侧面积．

解答 证明：（Ⅰ）连接OC，
∵SQ=SB，OQ=OB，C是BQ的中点
∴QB⊥SC，QB⊥OC，
又OC?平面SOC，SC?平面SOC，OC∩SC=C，
∴QB⊥平面SOC．
∵OH?平面SOC，
∴QB⊥OH，
又∵OH⊥SC，SC?平面SBQ，QB?平面SBQ，SC∩QB=C，
∴OH⊥平面SQB．
（Ⅱ）连接AQ．
∵AB为圆O的直径，
∴AQ⊥QB．
∵∠AOQ=60°，∴∠QBA=30°，
∵QB=2$\sqrt{3}$，∴AQ=2，AB=4．
∵△SAB是等腰直角三角形，
∴SO=$\frac{1}{2}$AB=2，SA=$\sqrt{2}OA$=2$\sqrt{2}$．
∴V_圆锥=$\frac{1}{3}$π•OA²•SO=$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×2$=$\frac{8}{3}$π．
S_侧=π×OA×SA=$π×2×2\sqrt{2}$=$4\sqrt{2}π$．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，线面垂直的判定，圆锥的体积与侧面积计算，属于中档题．