Question

2．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，点P在∠AOB内，且∠AOP=$\frac{π}{4}$，设$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，则$\frac{n}{m}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．

解答 解：由题意：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则OA⊥OB，建立直角坐标系：
A（1，0），B（0，$\sqrt{2}$），P（x，y）．
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=m（1，0）+n（0，$\sqrt{2}$）=（m，$\sqrt{2}$n），
∴x=m，y=$\sqrt{2}$n．
∵∠AOP=45°，∴cos45°=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OP}|•|OA|}$=$\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+2{n}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+2{n}^{2}}}$，
解得：m²=2n²
∴$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选B．

点评 熟练掌握向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式是解题的关键．