题目内容
18．
如图所示，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC⊥BC，BC=BB'=2，AC=4，点M是线段AB'的中点，则三棱锥M-ABC的外接球的体积是（ ）| A． | 36π | B． | $\frac{{20\sqrt{5}}}{3}$π | C． | $\sqrt{6}$π | D． | $\frac{4}{3}$π |
分析 取AB的中点D，连接MD，则D为△ABC外接圆的圆心，三棱锥M-ABC的外接球的球心O在MD上，利用勾股定理求出三棱锥即可求出M-ABC的外接球的半径，三棱锥M-ABC的外接球的体积．
解答 
解：取AB的中点D，连接MD，则D为△ABC外接圆的圆心，三棱锥M-ABC的外接球的球心O在MD上，
设三棱锥M-ABC的外接球的半径为R，则
由题意，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{5}$，
由勾股定理可得，R2=（$\sqrt{5}$）2+（R-1）2，
∴R=3，
∴三棱锥M-ABC的外接球的体积是$\frac{4}{3}$πR3=36π．
故选：A．
点评 本题考查三棱锥M-ABC的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确求出三棱锥M-ABC的外接球的半径是关键．
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