Question

7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面BCC₁B₁⊥底面ABC，BB₁⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA₁=3，E、F分别在棱AA₁，CC₁上，且AE=C₁F=2．
（Ⅰ）求证：BB₁⊥底面ABC；
（Ⅱ）求棱锥A₁-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点O，连接AO，则AO⊥平面BCC′B′，于是AO⊥BB′．又BB′⊥AC，从而得出BB′⊥底面ABC；
（2）V${\;}_{{A}_{1}-BEF}$=V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$，代入数据计算即可．

解答 证明：（1）取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，
所以AO⊥BC，
又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO?平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，
所以AO⊥平面BCC′B′，
又BB′?平面BCC′B′，
所以AO⊥BB′．又BB′⊥AC，AO∩AC=A，AO?平面ABC，AC?平面ABC，
所以BB′⊥底面ABC．
（2）V${\;}_{{A}_{1}-BEF}$=V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．