Question

已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为（　　）

• A．

  6

• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：表示出正三棱柱的侧面积，利用基本不等式即可求得结论．

解答：解：设外接球的球心为O，正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则
由于球心O在底面中的射影为底面的中心，则h2=4-(

3

3

a)2
∴正三棱柱的侧面积为3a×2h=6ah=6

a2×(4- 1 3 a2)

=

3× 1 3 a2×(4- 1 3 a2)

≤

3

×

1 3 a2+4- 1 3 a2

2

=2

3

当且仅当

1

3

a2=4-

1

3

a2，即a=

6

时，正三棱柱的侧面积取得最大值
故选A．

点评：本题考查求的内接几何体，考查正三棱柱的侧面积，解题的关键是确定正三棱柱的侧面积．