Question

19．设函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3ln（{x+2}）$
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间$[{\frac{1}{e}-2，e-2}]$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（2）由（1）可知，函数f（x）在$[{\frac{1}{e}-2，e-2}]$单调递减，即可求出函数的最值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3ln（{x+2}）$，则其定义域为（-2，+∞）
∴f′（x）=x-$\frac{3}{x+2}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{x+2}$，
令f′（x）=0，
解的x=1或x=-3（舍去），
当f′（x）＞0时，即x＞1时，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即-2＜x＜1时，函数单调递增减，
故f（x）在（-2，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增；
（2）∵0＜e-2＜1，-2＜$\frac{1}{e}$-2＜-1，
由（1）可知，函数f（x）在$[{\frac{1}{e}-2，e-2}]$单调递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{e}$-2）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$-2）²-3ln（$\frac{1}{e}$-2+2）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$-2）²+3，
f（x）_min=f（e-2）=$\frac{1}{2}$（e-2）²-3ln（e-2+2）=$\frac{1}{2}$（e-2）²-3．

点评 本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用单调性求函数的最值，属于中档题．